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数据结构与算法-5-动态规划-零钱兑换系列

322.零钱兑换

链接:https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

题解一|递归|超时:

递归遍历添加所有硬币的情况,每次添加某硬币,则递归遍历总金额-某硬币 的子问题。

    若 当前总金额为 0 则表明当前硬币情况有解,返回 0。

    若 当前总金额不为 0,则继续添加硬币

        若 当前总金额-硬币<0 表明不能添加该硬币(无解),尝试添加其他硬币。

        若 当前总金额-硬币>0 则递归遍历当前总金额-硬币的子问题,若子问题无解,尝试添加其他硬币;若子问题有解,则每次添加硬币时记录,硬币数 +1,最终比较取最小值。

    返回情况,若子问题有解,则返回子问题的最少硬币数,否则返回 -1。
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        self.res=float('inf')
        def helper(amount,count):
            if amount < 0:
                return
            if amount == 0:
                self.res=min(self.res,count)
            for i in range(len(coins)):
                helper(amount-coins[i],count+1)

        if len(coins)==0:
            return -1
        helper(amount,0)
        if self.res == float('inf'):
            return -1
        return self.res
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        if amount < 0:
            return 0
        res=float('inf')
        for coin in coins:
            if amount-coin < 0:
                continue
            sub=self.coinChange(coins,amount-coin)
            if sub == -1:
                continue
            res=min(res,sub+1)
        return res if res != float('inf') else -1

题解二|记忆化搜索:

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        def helper(coins,amount,memo):
            if amount == 0:
                return 0
            if amount in memo:
                return memo[amount]

            res=float('inf')

            for coin in coins:
                if amount-coin < 0:
                    continue
                sub=helper(coins,amount-coin,memo)
                if sub == -1:
                    continue
                res=min(res,sub+1)
            if res != float('inf'):
                memo[amount]=res
            else:
                memo[amount]=-1
            return memo[amount]
        memo={}
        return helper(coins,amount,memo)
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        def helper(amount):
            if amount in memo:
                return memo[amount]
            if amount == 0:
                return 0
            if amount < 0:
                return -1

            res=float('inf')
            for coin in coins:
                sub=helper(amount-coin)
                if sub == -1:
                    continue
                res=min(res,sub+1)
            if res != float('inf'):
                memo[amount]=res
            else:
                memo[amount]=-1
            return memo[amount]
        memo={}
        return helper(coins,amount,memo)

题解三|动态规划|自上而下:

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=Mzg2NzA4MTkxNQ==&mid=2247486360&idx=2&sn=bebf739b28f51a666af4cb9b30533b55&scene=21#wechat_redirect

1、定义数组含义

dp[i] 保存金额 i 的最小组成数。

2、找出数组递推关系式

遍历 dp 数组,i 遍历区间 [1,amount+1):

    遍历每种硬币的面值 coin:
        必须满足条件 i>=coin,表示金额必须比硬币面值大。
        dp[i]=min(dp[i],dp(i-coin)+1),保存的是最小的组成数。

若 dp[amount]不为MAX,则返回,否则返回 −1。

3、找到初始值

初试化 dp=[MAX,⋯,MAX],长度为 amount+1
dp[0]=0,表示 0 元的组成种类为 0

时间复杂度:O(mn)
空间复杂度:O(n)

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp=[float('inf')]*(amount+1)
        dp[0]=0
        for i in range(1,amount+1):
            for coin in coins:
                if i >= coin:
                    dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)
        return dp[-1] if dp[-1] != float('inf') else -1

518. 零钱兑换 II

链接:https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。 

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意:

你可以假设:

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

题解一|回溯|超时:

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n=len(coins)
        self.res=0
        def helper(first,amount):
            if amount == 0:
                self.res+=1
                return

            for i in range(first,len(coins)):
                if coins[i] <= amount:
                    helper(i,amount-coins[i])
        coins.sort()
        helper(0,amount)
        return self.res
class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n=len(coins)
        self.res=0
        def helper(first,amount):
            if amount == 0:
                self.res+=1
                return 
            for i in range(first,len(coins)):
                if amount >= coins[i]:
                    amount-=coins[i]
                    helper(i,amount)
                    amount+=coins[i]
        coins.sort()
        helper(0,amount)
        return self.res

题解二|动态规划:

参考背包系列
class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n=len(coins)
        dp=[[0]*(amount+1) for i in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0]=1
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,amount+1):
                if j-coins[i-1]>=0:
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i-1]]
                else:
                    dp[i][j]=dp[i-1][j]
        return dp[n][amount]