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voidqueens@hotmail.com

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数据结构与算法-6-动态规划-股票买卖系列

一、股票买卖系列

for 状态1 in 状态1的所有取值:
    for 状态2 in 状态2的所有取值:
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)

每天都有三种「选择」:买入、卖出、无操作,我们用 buy, sell, rest 表示这三种选择。

问题是,并不是每天都可以任意选择这三种选择的,因为 sell 必须在 buy 之后,buy 必须在 sell 之后(第一次除外)。那么 rest 操作还应该分两种状态,一种是 buy 之后的 rest(持有了股票),一种是 sell 之后的 rest(没有持有股票)。而且别忘了,我们还有交易次数 k 的限制,就是说你 buy 还只能在 k > 0 的前提下操作。

问题的「状态」有三个,第一个是天数,第二个是当天允许交易的最大次数,第三个是当前的持有状态(即之前说的 rest 的状态,我们不妨用 1 表示持有,0 表示没有持有)。

穷举:

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp5.jpg

dp[3][2][1]:今天是第三天,我现在手上持有着股票,至今最多进行 2 次交易。

dp[2][3][0] 的含义:今天是第二天,我现在手上没有持有股票,至今最多进行 3 次交易。

最终所求:dp[n - 1][K][0],即最后一天,最多允许 K 次交易,所能获取的最大利润。

为什么不是 dp[n - 1][K][1]?因为 [1] 代表手上还持有股票,[0] 表示手上的股票已经卖出去了,很显然后者得到的利润一定大于前者。

状态转移:
https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp6.jpg

状态转移方程:

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp7.jpg

bad case:

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp8.jpg

总结:

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp9.jpg

121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易(即买入和卖出一支股票一次),设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意:你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出,最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格;同时,你不能在买入前卖出股票。
示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

题解一|暴力破解:

时间复杂度:O(n^2)
空间复杂度:O(1)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        profit=0
        for i in range(len(prices)-1):
            for j in range(i+1,len(prices)):
                if prices[j]-prices[i] > profit:
                    profit=prices[j]-prices[i]           
        return profit

题解二:

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        minPrice=float('inf')
        profit=0
        for i in range(len(prices)):
            if prices[i] < minPrice:
                minPrice=prices[i]
            elif prices[i]-minPrice > profit :
                profit=prices[i]-minPrice
        return profit    

题解三:

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        profit=0
        tmp=prices[0]
        for i in range(1,len(prices)):
            tmp=min(tmp,prices[i])
            profit=max(profit,prices[i]-tmp)
        return profit

题解四|万能公式:

思路:
K=1

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp10.jpg

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(n)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp=[[0]*2 for i in range(n)]
        for i in range(n):
            if i-1==-1:
                dp[i][0]=0
                # dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
                          =max(dp[-1][0],dp[-1][1]+prices[i])
                          =max(0,-float('inf')+prices[i])
                          =0
                dp[i][1]=-prices[i]
                # dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
                          =max(dp[-1][1],dp[-1][0]-prices)
                          =max(-float('inf'),0-prices)
                          =-prices
                continue
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1], -prices[i])
        # print(dp)
        return dp[n-1][0] 

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp_i_0=0  # dp[-1][0]=0
        dp_i_1=-float('inf') # dp[-1][1]=-float('inf')
        for i in range(n):
            dp_i_0=max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i])
            dp_i_1=max(dp_i_1,-prices[i])
        return dp_i_0
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices: return 0
        n = len(prices)
        dp = [[0,0] for _ in range(n)]
        dp[-1][0] = 0
        dp[-1][1] = - float('inf')
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = - float('inf')
        for i in range(n):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+ prices[i]) 
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],- prices[i])
        return dp[-1][0]

122. 买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
     随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。
示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。
     因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示:

1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
0 <= prices[i] <= 10 ^ 4

思路:
K=+infinity

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp11.jpg

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp=[[0]*2 for i in range(n)]
        dp[-1][0]=0
        dp[-1][1]=-float('inf')
        dp[0][0]=0
        dp[0][1]=-float('inf')
        for i in range(n):
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i])
        return dp[n-1][0]

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp_i_0=0
        dp_i_1=-float('inf')
        for i in range(n):
            tmp=dp_i_0
            dp_i_0=max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i])
            dp_i_1=max(dp_i_1,tmp-prices[i])
        return dp_i_0

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路:
K=+infinity with cooldown
每次sell后要等一天才能继续交易;

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp12.jpg

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n=len(prices)
        if n == 0 or n==1:
            return 0
        dp=[[0]*2 for i in range(n)]
        dp[-1][0]=0
        dp[-1][1]=-float('inf')
        dp[-2][0]=0 # 不要这个初始值也可以,前面已经初始化。
        dp[0][0]=0
        dp[0][1]=-float('inf')
        for i in range(n):
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-2][0]-prices[i])
        return dp[n-1][0]
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices: return 0
        if len(prices) == 1: return 0
        n = len(prices)
        dp = [[0 for i in range(2)] for _ in range(n)]
        dp[-1][1] = -float('inf')
        dp[-2][1] = -float('inf')
        dp[0][1] = -float('inf')
        for i in range(n):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1] + prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-2][0] - prices[i])
        return dp[-1][0]
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices: return 0
        if len(prices) == 1: return 0
        n = len(prices)
        dp_i_0=0
        dp_i_1=-float('inf')
        dp_pre_0=0 # 代表dp[i-2][0]
        for i in range(n):
            tmp=dp_i_0
            dp_i_0=max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i])
            dp_i_1=max(dp_i_1,dp_pre_0-prices[i])
            dp_pre_0=tmp
        return dp_i_0

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意:这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程,每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
注意:

0 < prices.length <= 50000.
0 < prices[i] < 50000.
0 <= fee < 50000.

思路:

K=+infinity with fee
每次交易要支付手续费,只要把手续费从利润中减去即可;

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp13.jpg

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp=[[0]*2 for i in range(n)]
        dp[-1][0]=0
        dp[-1][1]=-float('inf')
        dp[0][0]=0
        dp[0][1]=-float('inf')
        for i in range(n):
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]-fee)
        return dp[n-1][0]
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp_i_0=0
        dp_i_1=-float('inf')
        for i in range(n):
            tmp=dp_i_0
            dp_i_0=max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i])
            dp_i_1=max(dp_i_1,tmp-prices[i]-fee)
        return dp_i_0

123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路:

K=2

k = 2 和前面题目的情况稍微不同,因为上面的情况都和 k 的关系不太大。要么 k 是正无穷,状态转移和 k 没关系了;要么 k = 1,跟 k = 0 这个 base case 挨得近,最后也被消掉了。

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp14.jpg

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        dp=[[[0]*2 for i in range(3)] for i in range(n)]
        for k in range(3):
            dp[0][k][1]=-float('inf')
            dp[-1][k][1]=-float('inf')
        for i in range(n):
            for k in range(1,3):
                dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])
                dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
        return dp[n-1][2][0]

https://gypsy-1255824480.cos.ap-beijing.myqcloud.com/blog/dp15jpg

188. 买卖股票的最佳时机 IV

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后,在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入,在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

思路:

K=any integer

这题和 k = 2 没啥区别,可以直接套上一题的第一个解法。但是提交之后会出现一个超内存的错误,原来是传入的 k 值可以任意大,导致 dp 数组太大了。现在想想,交易次数 k 最多能有多大呢?

一次交易由买入和卖出构成,至少需要两天。所以说有效的限制次数 k 应该不超过 n/2,如果超过,就没有约束作用了,相当于 k = +infinity。这种情况是之前解决过的。

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:
            return 0
        n=len(prices)
        if k >= n//2:
            res=0
            for i in range(1,n):
                if prices[i] > prices[i-1]:
                    res += prices[i] - prices[i-1]
            return res
        else:
            dp=[[[0]*2 for i in range(k+1)] for i in range(n)]
            for t in range(k+1):
                dp[0][t][1]=-float('inf')
                dp[-1][t][1]=-float('inf')
            for i in range(n):
                for t in range(1,k+1):
                    dp[i][t][0]=max(dp[i-1][t][0],dp[i-1][t][1]+prices[i])
                    dp[i][t][1]=max(dp[i-1][t][1],dp[i-1][t-1][0]-prices[i])
            return dp[n-1][k][0]